Основной курс по олимпиадной математике (8-9 класс) [Атриум] [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова]

Складчина: Основной курс по олимпиадной математике (8-9 класс) [Атриум] [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова]

Курс состоит из 7 блоков (месяцев), каждый блок делится на три уровня сложности: простой, средний и сложный.

В первых четырёх блоках по 8 пар простого и среднего уровня и по 4 сложного, в последних трёх — по 4 пары простого уровня и по 8 среднего и сложного

Уровни сложности:

• Легкий уровень:
  самая база (уровень школьного и муниципального этапов ВСОШ) + закл простых классических олимпиад (Изумруд, Бельчонок)
• Средний уровень:
  уровень регионального этапа ВСОШ/Эйлера + закл несложных классических перечней (Всесиб, Курчатов, СПбГУ)
• Сложный уровень:
  пекло уровня заключительно этапа ВсОШ/Эйлера и заклов самых сложных классических перечней (ММО, ТурГор, Высшая Проба)

Стратегии прохождения курса:

• Если вы совсем новичок:
  Проходите все занятия легкого уровня и всеми силами стараетесь перейти на средний уровень
• Если у вас уже есть опыт:
  Проходите все занятия среднего уровня, всеми силами стараетесь перейти на сложный уровень и заполняете пробелы в определенных разделах на парах простого уровня
• Если вы почти призер ВсОШ:
  Проходите все занятия сложного уровня и заполняете пробелы на парах среднего уровня

В любом случае, вы можете посещать все пары и — главное — смотреть записи пар до конца курса. Так вы сможете изучить весь материал, даже если не обладали некоторыми пререквизитами заранее

Программа:

1 Блок (Сентябрь)

Простой уровень сложности:

• Логика: построение отрицаний
  Научимся переводить высказывания на язык логики и корректно строить отрицания к фразам с «и», «или», «для всех» и «существует». Разберём задачи о рыцарях и лжецах.
• Методы: доказательство от противного
  Разберём структуру доказательства от противного: какое предположение сделать, как получить невозможное следствие и как аккуратно завершить рассуждение.
• Комбинаторика: правила суммы и произведения
  Освоим базовые правила подсчёта: когда варианты складываются, а когда перемножаются. Научимся разбивать сложный выбор на независимые этапы.
• Комбинаторика: перебор вариантов
  Научимся организовывать полный перебор без пропусков и повторов: с помощью дерева вариантов, таблицы, разбиения на случаи и симметрии.
• Теория чисел: чётность
  Научимся отслеживать чётность чисел и операций, разбивать случаи по остаткам по модулю 2 и доказывать невозможность требуемой конфигурации.
• Алгебра: преобразование выражений 1
  Отработаем разложения на множители, группировку, формулы сокращённого умножения и разумные замены. Цель быстро увидеть структуру выражения.
• Геометрия: равенство треугольников
  Повторим признаки равенства и научимся находить пары треугольников в сложном чертеже. Отработаем доказательства равенства углов и отрезков.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Методы: постепенное конструирование
  Научимся строить требуемый объект по шагам, на каждом шаге сохраняя нужные свойства. Отработаем конструкции, где готовый ответ трудно увидеть целиком.
• Методы: соответствия
  Освоим биекции и другие соответствия между множествами: будем заменять трудный подсчёт эквивалентным и доказывать равенство количеств без прямого перебора.
• Комбинаторика: игры симметрия и дополнение
  Освоим стратегии зеркального ответа и парного дополнения. Научимся находить симметричное состояние и сохранять его после каждого хода соперника.
• Теория чисел: сравнения по модулю 1
  Введём язык сравнений по модулю и научимся складывать, умножать и возводить сравнения в степень. Решим базовые задачи на остатки и делимость.
• Алгебра: слова в формулы
  Научимся переводить текстовые условия в переменные, уравнения и неравенства, выбирать неизвестные и интерпретировать полученный ответ.
• Геометрия: угол, опирающийся на диаметр
  Разберём теорему об угле в полуокружности и обратное утверждение. Научимся распознавать скрытые прямые углы и достраивать окружность.
• Геометрия: откладывание отрезков
  Освоим вспомогательное построение равного отрезка, которое создаёт равнобедренный треугольник или позволяет сложить длины на одной прямой.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Алгебра: слова в формулы посложнее
  Разберём многоэтапные текстовые модели с несколькими ограничениями. Научимся выбирать параметры так, чтобы система была компактной и содержательной.
• Комбинаторика: таблицы
  Научимся кодировать условия задачи в таблице, считать строки и столбцы двумя способами и извлекать из табличной структуры точные оценки.
• Теория чисел: десятичная запись
  Научимся переводить условия о цифрах в алгебраические выражения, работать с разрядами, суммами цифр и делимостью чисел.
• Геометрия: вневписанные окружности
  Разберём центры вневписанных окружностей, внешние биссектрисы и касательные отрезки. Научимся использовать полупериметр и угловые свойства.

2 Блок (Октябрь)

Простой уровень сложности:

• Методы: принцип Дирихле
  Научимся выбирать «клетки» и «объекты» так, чтобы гарантировать совпадение, близость или повторение. Разберём числовые, геометрические и комбинаторные сюжеты.
• Методы: принцип крайнего
  Будем выбирать наибольший, наименьший или крайний объект и использовать его свойства для запуска доказательства. Отработаем типичные признаки применимости метода.
• Теория чисел: делимость, основная теорема арифметики
  Повторим делимость и разложение на простые множители. Научимся сравнивать показатели простых и использовать единственность разложения в доказательствах.
• Теория чисел: остатки
  Освоим арифметику остатков и выбор подходящего модуля. Научимся быстро исключать невозможные значения и исследовать периодичность.
• Комбинаторика: вычитание и деление
  Разберём подсчёт через дополнение и устранение многократного учёта. Научимся распознавать, сколько раз каждый объект был посчитан.
• Графы: основные понятия, лемма о рукопожатиях
  Введём вершины, рёбра, степени и пути. Докажем лемму о рукопожатиях и применим её к задачам о знакомствах, дорогах и нечётных степенях.
• Геометрия: прямоугольные треугольники
  Систематизируем свойства прямоугольного треугольника: медиану к гипотенузе, высоту, углы между ними.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Методы: оценки в комбинаторике
  Научимся ограничивать число объектов, пар, пересечений и вариантов с помощью двойного подсчёта, усреднения и локальных ограничений.
• Методы: оценки в теории чисел
  Разберём, как сравнивать размеры делителей, степеней и слагаемых, чтобы отсекать невозможные случаи в задачах на целые числа.
• Методы: инварианты мешают
  Будем доказывать невозможность, находя неизменяемую характеристику, значения которой различаются в начальном и требуемом состояниях.
• Алгебра: неравенства 1
  Соберём базовые методы доказательства неравенств: перенос в одну сторону, факторизация, выделение квадрата и неравенство о средних для двух переменных.
• Теория чисел: малая теорема Ферма
  Изучим малую теорему Ферма и периодичность степеней по простому модулю. Применим её к последним цифрам, делимости и сравнениям.
• Геометрия: неравенство треугольника
  Освоим сравнение длин через ломаные и спрямление пути. Научимся строить точки так, чтобы сложная сумма отрезков превратилась в один отрезок.
• Геометрия: конкурентность
  Разберём доказательства пересечения трёх прямых в одной точке, сводя задачу к пересечению замечательных линий в треугольнике.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Алгебра: неравенство о средних
  Изучим связь среднего арифметического и геометрического для нескольких переменных, условия равенства и типичные замены.
• Методы: сложные оценки
  Соберём несколько локальных ограничений в одну точную глобальную оценку. Отработаем усреднение, двойной подсчёт и выбор параметра в задачах высокой сложности.
• Геометрия: геометрические неравенства
  Разберём оценки длин, углов и площадей с помощью неравенства треугольника, проекций, спрямления и экстремальных конфигураций.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

3 Блок (Ноябрь)

Простой уровень сложности:

• Методы: обратный ход
  Научимся рассуждать от требуемого результата к исходным данным и обращать допустимые операции. Метод особенно полезен в задачах на процессы, игры и построения.
• Методы: комбинаторные конструктивы 1
  Разберём базовые способы явно строить объекты с заданными свойствами. Научимся превращать идею конструкции в строгое доказательство.
• Теория чисел: признаки делимости
  Разберём классические и нестандартные признаки делимости через десятичную запись и остатки. Научимся самостоятельно выводить признаки для разных модулей.
• Теория чисел: НОД, НОК, Алгоритм Евклида
  Освоим свойства НОД и НОК, алгоритм Евклида и линейное представление НОД. Применим их к решению различных задач.
• Алгебра: преобразование выражений 2
  Продолжим преобразования: симметрические выражения, вложенные дроби и нестандартные разложения на множители. Научимся выбирать форму, удобную для доказательства.
• Комбинаторика: формула включений исключений
  Разберём, как считать объединение пересекающихся множеств, корректируя повторный учёт. Применим формулу к делимости, словам и размещениям.
• Геометрия: параллелограммы и средние линии
  Разберём свойства параллелограмма и средних линий треугольника и трапеции. Отработаем рассуждения через параллельность и равные отрезки.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Методы: инварианты помогают
  Научимся находить величину или свойство, которое сохраняется в процессе, и использовать его для вычисления результата, восстановления состояния или описания всех возможностей.
• Методы: дискретная непрерывность
  Разберём принцип промежуточного значения в дискретных процессах: если целочисленная величина меняется малыми шагами, она обязана пройти через нужное значение.
• Методы: оценка + пример
  Освоим одну из главных олимпиадных конструкций: сначала докажем верхнюю или нижнюю границу, затем построим пример, на котором она достигается.
• Теория чисел: сравнения по модулю 2
  Продолжим работу со сравнениями: обратимые остатки, деление при допустимых условиях, системы сравнений и периодичность степеней.
• Алгебра: рациональные и иррациональные числа
  Разберём доказательства иррациональности, сопряжённые выражения и разделение рациональной и иррациональной частей.
• Геометрия: вписанные углы 1
  Освоим связь вписанного и центрального углов, углы, опирающиеся на одну хорду, и простые признаки вписанности четырёх точек.
• Геометрия: вписанные углы 2
  Продолжим работу с окружностями: ориентированные углы, касательные, равенство дуг и цепочки вписанностей в сложных конфигурациях.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Алгебра: целочисленная теорема Безу
  Рассмотрим разность значений многочлена с целыми коэффициентами в целых точках и докажем её делимость на разность значений. Используем этот метод в разных задачах.
• Теория чисел: сложные задачи с остатками
  Будем комбинировать несколько модулей, исследовать степени и многочлены по остаткам, а также строить контрпримеры и точные ограничения.
• Методы: префиксные суммы
  Освоим суммы первых элементов последовательности и их разности. Научимся выражать суммы на отрезках и находить повторения с помощью принципа Дирихле.
• Геометрия: сложные задачи с окружностями
  Соберём вписанные углы, хорыд, секущие и касательные в многошаговых конфигурациях. Научимся выбирать ведущую окружность.

4 Блок (Декабрь)

Простой уровень сложности:

• Методы: комбинаторные конструктивы 2
  Продолжим конструктивный метод: циклические схемы, чередование, блочные конструкции и рекурсивное построение. Упор на выбор конструкции под ограничения задачи.
• Методы: раскраски
  Научимся выбирать раскраску, сохраняющуюся или предсказуемо меняющуюся при операциях. Применим её к клетчатым доскам, разбиениям и доказательствам невозможности.
• Теория чисел: простая десятичная запись
  Разберём запись числа по разрядам и базовые задачи о цифрах: перестановка, дописывание, сумма цифр и делимость.
• Алгебра: числовые неравенства
  Освоим сравнение числовых выражений без вычислений: приведение к квадратам, разложения, монотонность и рациональные оценки.
• Графы: деревья
  Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.
• Геометрия: геометрическое место точек
  Научимся описывать множество точек, удовлетворяющих условию: серединные перпендикуляры, биссектрисы, окружности. Разберём пересечение нескольких ГМТ.
• Геометрия: теорема Фалеса
  Освоим равные отрезки при параллельных прямых и обратные утверждения. Научимся применять её в задачах.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Методы: полуинварианты
  Разберём величины, которые меняются только в одном направлении. Научимся доказывать завершение процессов, невозможность циклов и оценивать число ходов.
• Методы: метод математической индукции
  Освоим обычную и усиленную индукцию, выбор удобного параметра и правильный переход. Разберём доказательства тождеств, неравенств и комбинаторных утверждений.
• Алгебра: квадратный трёхчлен 1
  Освоим дискриминант, сумму и произведение корней, знак трёхчлена и выделение полного квадрата. Применим это к базовым олимпиадным задачам.
• Теория чисел: простые числа
  Разберём свойства простых чисел, бесконечность множества простых и разложения произведений. Научимся выбирать крайний простой делитель.
• Графы: смежность и связность 1
  Освоим пути, компоненты связности и локальные условия на соседей. Научимся переводить сюжет задачи в граф и исследовать достижимость.
• Геометрия: обобщённая теорема Фалеса
  Разберём направленные отношения на секущих, несколько параллельных прямых и более сложные пропорции. Свяжем метод с подобием.
• Геометрия: вписанные четырёхугольники
  Разберём признаки вписанности, суммы противоположных углов, внешние углы и следствия для диагоналей. Научимся находить скрытую окружность.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Графы: смежность и связность 2
  Углубим связность: разрезы, мосты, точки сочленения и минимальные связные структуры. Отработаем доказательства различных свойств.
• Алгебра: квадратный трёхчлен 2
  Продолжим: параметры, целые корни, расположение корней и построение вспомогательного трёхчлена. Научимся извлекать ограничения без явного решения.
• Геометрия: вписанность в действии
  Будем находить несколько взаимосвязанных окружностей и переносить угловые равенства по цепочке. Упор на выбор самой полезной вписанности.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

5 Блок (Январь)

Простой уровень сложности:

• Комбинаторика: сочетания
  Освоим биномиальные коэффициенты, выбор без учёта порядка и основные тождества. Научимся видеть сочетания в задачах, не сформулированных как выбор элементов.
• Теория чисел: линейные диофантовы уравнения
  Научимся находить все целочисленные решения уравнения ax + by = c, проверять критерий существования и учитывать ограничения на знаки.
• Алгебра: квадратные уравнения
  Систематизируем дискриминант, теорему Виета и параметры корней. Научимся решать олимпиадные задачи без прямого вычисления корней.
• Геометрия: подобие
  Систематизируем признаки подобия и отношения соответствующих элементов. Научимся находить скрытые подобные треугольники и строить нужные пропорции.

Средний уровень сложности:

• Методы: крайние в теории чисел
  Научимся выбирать наименьшее решение, наибольший делитель или крайний простой множитель и использовать минимальность для получения противоречия или спуска.
• Комбинаторика: информационные задачи
  Научимся измерять количество информации числом возможных исходов и строить оптимальные алгоритмы вопросов, взвешиваний и кодирования.
• Алгебра: метод Штурма
  Освоим метод сглаживания: будем заменять пару переменных при фиксированных сумме и произведении и сводить многопеременное неравенство к граничным случаям.
• Теория чисел: целая и дробная часть
  Освоим свойства целой и дробной части, разбиение числовой прямой на интервалы и преобразование условий с целыми значениями.
• Графы: индукция в графах
  Научимся применять индукцию по числу вершин или рёбер: выбирать удаляемый элемент, сохранять условие и восстанавливать решение.
• Геометрия: степень точки
  Освоим произведения отрезков секущих, касательную и степень точки внутри и вне окружности. Научимся доказывать равенства и вписанность.
• Геометрия: описанные четырёхугольники
  Изучим критерий существования вписанной окружности и равенство сумм противоположных сторон. Разберём касательные от одной точки и биссектрисы.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Алгебра: неравенство КБШ
  Изучим неравенство Коши Буняковского Шварца в алгебраической и дробной формах. Отработаем подбор переменных и условия равенства.
• Алгебра: теорема Виета для высших степеней
  Изучим формулы Виета для многочленов степени выше двух и научимся выражать симметрические суммы корней через коэффициенты.
• Теория чисел: функция и теорема Эйлера
  Освоим функцию Эйлера, её вычисление по разложению числа и теорему Эйлера. Решим задачи на большие степени и обратимые остатки.
• Геометрия: угадывание точек
  Научимся восстанавливать скрытую специальную точку по ожидаемым свойствам: достраивать пересечения, окружности и симметричные образы, а затем строго доказывать догадку.
• Геометрия: радикальная ось и радикальный центр
  Изучим множество точек равных степеней относительно двух окружностей и конкурентность трёх радикальных осей. Применим метод к системам окружностей.
• Комбинаторика: сложные информационные задачи
  Разберём адаптивные и неадаптивные стратегии, кодирование ответов и информационные нижние оценки. Будем доказывать не только возможность, но и оптимальность алгоритма.
• Комбинаторика: сложные игры
  Исследуем выигрышные и проигрышные позиции, стратегии передачи хода и разложение игры на компоненты. Задачи потребуют сочетать инварианты и конструктивы.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

6 Блок (Февраль)

Простой уровень сложности:

• Теория чисел: квадратные диофантовы уравнения
  Разберём уравнения, содержащие квадраты: разложение на множители, сравнения, оценки и переход к разности квадратов.
• Геометрия: поиск вписанностей
  Научимся целенаправленно доказывать, что четыре точки лежат на окружности: через равные углы, сумму углов, степень точки и произведения отрезков.
• Графы: двудольность
  Разберём двудольные графы, раскраску в два цвета и критерий отсутствия нечётных циклов. Применим модель к расписаниям и отношениям двух типов.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Методы: частичное соответствие
  Разберём ситуации, где полная биекция недоступна: будем строить инъекции, сюръекции и частичные пары, чтобы сравнивать мощности и получать оценки.
• Комбинаторика: сочетания с повторениями
  Разберём выбор с повторениями, метод перегородок и шаров, а также связь с неотрицательными целочисленными решениями уравнений.
• Графы: подвешивание за вершину (ранжирование)
  Освоим разбиение вершин на уровни по расстоянию от выбранной вершины. Метод поможет исследовать кратчайшие пути, двудольность и рост графа.
• Алгебра: квадратный трёхчлен 2
  Продолжим: параметры, целые корни, расположение корней и построение вспомогательного трёхчлена. Научимся извлекать ограничения без явного решения.
• Теория чисел: конструктивы
  Научимся строить числа с заданными остатками, делителями и цифровыми свойствами.
• Геометрия: ортоцентр
  Систематизируем свойства высот и ортоцентра, отражения относительно сторон, окружности и угловые связи. Научимся видеть ортоцентр в нетипичной роли.
• Геометрия: лемма о трезубце
  Изучим конфигурацию биссектрисы и центра описанной окружности, позволяющую получать равные отрезки и углы. Отработаем её распознавание и применение.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Методы: упорядочивание и усреднение
  Научимся упорядочивать объекты, сравнивать соседние элементы и переходить от локальных данных к среднему. Метод объединяет перестановки, оценки и экстремальные аргументы.
• Методы: кооперативные алгоритмы
  Разберём задачи, где участники заранее согласуют стратегию, но затем действуют при ограниченной информации. Научимся кодировать сведения и доказывать гарантию успеха.
• Графы: лемма Холла
  Изучим критерий существования паросочетания в двудольном графе. Научимся проверять условие Холла и переводить задачи о назначениях в графовую модель.
• Теория чисел: КТО
  Изучим китайскую теорему об остатках и построение числа по системе сравнений. Научимся проверять совместность и описывать все решения.
• Алгебра: транснеравенство
  Изучим перестановочное неравенство: почему скалярное произведение максимально для одинаково упорядоченных последовательностей. Разберём следствия и условия равенства.
• Геометрия: задачи на решётки
  Исследуем точки с целыми координатами без тяжёлой координатной техники: площади, чётность, примитивные отрезки и формулу Пика.
• Геометрия: ориентированные углы
  Освоим вычисление углов по модулю 180°, которое устраняет разбор расположений. Научимся компактно доказывать параллельность и вписанность.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

7 Блок (Март)

Простой уровень сложности:

• Алгебра: суммирование
  Разберём телескопические суммы, группировку, замену индекса и стандартные формулы. Научимся искать представление, в котором большая часть слагаемых сокращается.
• Геометрия: простые конструктивы
  Разберём задачи, где требуется построить или предъявить конфигурацию. Научимся использовать симметрию, параллельный перенос и разбиение на знакомые фигуры.
• Графы: деревья
  Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Средний уровень сложности:

• Алгебра: корни многочленов
  Изучим связи между корнями и коэффициентами, кратность, делимость многочленов и оценку числа корней. Научимся строить вспомогательный многочлен.
• Алгебра: задачи с функциями
  Будем исследовать функции через инъективность, монотонность, композиции и специальные значения. Научимся переводить функциональное условие в алгебраические ограничения.
• Теория чисел: уравнения в целых числах
  Соберём основные методы решения диофантовых уравнений: делимость, остатки, оценки, разложения и спуск. Научимся сочетать несколько методов.
• Комбинаторика: турниры
  Изучим ориентированные полные графы как модель соревнований. Разберём победителей, пути, циклы и оценки на число исходов.
• Комбинаторика: конструктивы
  Научимся явно строить расстановки, последовательности и разбиения, удовлетворяющие нескольким условиям одновременно, и строго проверять конструкцию.
• Геометрия: движения
  Разберём осевую и центральную симметрии, поворот и параллельный перенос. Научимся выбирать движение, совмещающее ключевые элементы.
• Геометрия: гомотетия
  Освоим центры гомотетии окружностей и подобных фигур, прямую и обратную гомотетию. Научимся находить коллинеарности и общие касательные.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Сложный уровень сложности:

• Методы: метод бесконечного спуска
  Научимся из предполагаемого решения строить строго меньшее решение того же типа. Бесконечный спуск позволит доказывать невозможность целочисленных конфигураций.
• Комбинаторика: клетчатые задачи
  Разберём задачи на досках и решётках: раскраски, разбиения, пути, покрытия и подсчёт клеток. Научимся выбирать подходящую модель.
• Комбинаторика: множества
  Освоим язык множеств, операции и диаграммы, а затем применим их к задачам о пересечениях, объединениях и семействах подмножеств.
• Теория чисел + алгебра: разнобой
  Смешанный набор сложных задач на многочлены, неравенства, делимость и целочисленные уравнения. Главная цель научиться сочетать алгебраические и арифметические идеи.
• Алгебра: задачи на последовательности
  Разберём рекуррентные и монотонные последовательности, оценки, инварианты и периодичность. Научимся угадывать и доказывать закономерность.
• Геометрия: поворотная гомотетия
  Изучим спиральное подобие, которое одновременно поворачивает и масштабирует фигуру. Научимся находить его центр и переносить пары отрезков.
• Геометрия: счёт в синусах
  Освоим теорему синусов и вычисление отношений отрезков через синусы углов. Научимся замыкать циклические произведения и доказывать конкурентность.
• Разнобой
  Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.

Цена 29900 руб.
Скрытая ссылка